∫ a b ( α f ( x ) + β g ( x ) ) d x = α ∫ a b f ( x ) d x + β ∫ a b g ( x ) d x = ∑ i = 0 n w i ( α f ( x i ) + β g ( x i ) ) .
Ці типи методів називаються квадратурними правилами Гаусса. Ми обговоримо правило для кінцевих інтервалів. ∫ − 1 1 f ( x ) d x ≈ ∑ ℓ = 1 L w ℓ f ( x ℓ ) . ∫ a b f ( x ) d x = b − a 2 ∫ − 1 1 f ( b − a 2 z + a + b 2 ) d z .
Теорема Гауса дозволяє замінити інтеграл, взятий по об’єму, на інтеграл, взятий по поверхні, що обмежує цей об’єм, і навпаки. Чому ми хочемо це зробити? Ефективність обчислень та/або чисельна точність!
Формула розподілу Гауса (1 / sqrt(2 * pi * sigma^2))– нормувальний коефіцієнт, який забезпечує рівність 1 площі під кривою розподілу; і. exp(-((x – mu)^2) / (2 * sigma^2))– це дзвоноподібна крива з центром у середньому, mu, і має стандартне відхилення сигма.
Безперервна випадкова змінна Z називається стандартною нормальною (стандартною гаусовою) випадковою змінною, зображеною як Z∼N(0,1), якщо її PDF задано як fZ(z)=1√2πexp{−z22}, для всіх z∈R. 1√2π існує, щоб переконатися, що площа під PDF дорівнює одиниці.