Приклад числення. Функція F(x)=13×3 неперервна на [0,1]; він також диференційований і його похідна f(x)=F′(x)=x2 є інтегровною за Ріманом, оскільки вона неперервна, як ми довели вище. Тому маємо ∫10x2dx=F(1)−F(0)=13.
Інтегрованість. Обмежена функція на компактному інтервалі [a, b] є інтегровною за Ріманом тоді і тільки тоді, коли він неперервний майже всюди (множина його точок розриву має міру нуль, у сенсі міри Лебега).
Інтеграція Рімана знаходить застосування в різних областях, таких як Фізико-технічний. У фізиці інтеграли Рімана використовуються для обчислення мір наборів, таких як довжина дуги, площа, площа поверхні та об’єм, що допомагає в математичному аналізі та моделюванні фізичних явищ.
Обмежена функція f:[a,b]→R є інтегровною за Ріманом тоді і тільки тоді, коли ∀ϵ>0,∃Qтаке, що U(Q,f)−L(Q,f)<ϵ. доказ. Якщо f інтегровна за Ріманом, то для всіх ϵ>0 існує P1,P2 таке, що U(P2,f)−∫fdx<ϵ/2 і ∫fdx−L(P1,f)<ϵ/2.
Один критерій інтегровності за Ріманом стверджує, що (припускаючи, що f обмежена) f є інтегровною за Ріманом тоді і тільки тоді, коли, для кожного ε>0 виконується нерівність ¯Σ(f,P)−Σ_(f,P)<ε для деякого розбиття P.