У лінійній алгебрі сингулярне розкладання (SVD) є факторизація дійсної або комплексної матриці в обертання з подальшим зміною масштабу з наступним обертанням.
Сингулярні значення, про які йдеться в назві «розкладання одиничних значень», є простими довжина і ширина перетвореного квадрата, і ці значення можуть сказати вам багато речей. Наприклад, якщо одне з сингулярних значень дорівнює 0, це означає, що наше перетворення вирівнює наш квадрат.
Сингулярне розкладання (SVD) є розкладання матриці на добуток трьох матриць: U, Σ і V*. Тут U і V — ортогональні матриці, а Σ — діагональна матриця, що містить сингулярні значення вихідної матриці.
PCA ефективно намагається знайти ортогональні осі (головні компоненти), уздовж яких дисперсія даних є максимальною. SVD, з іншого боку, не покладається на коваріаційну матрицю.
Один із способів інтерпретації SVD – це розглядати його як перетворення вихідної матриці A в нову систему координат, визначену сингулярними векторами. Сингулярні значення представляють коефіцієнти масштабування вздовж кожного виміру нової системи координат.
SVD мотивується таким геометричним фактом: Зображенням одиничної сфери під будь-якою m n матрицею є гіпереліпс. SVD застосовний як до дійсних, так і до комплексних матриць. Однак, описуючи геометричну інтерпретацію, ми, як зазвичай, припускаємо, що матриця дійсна.