У математиці — ряд Тейлора або розкладання функції Тейлора нескінченна сума доданків, які виражаються через похідні функції в одній точці. Для більшості поширених функцій функція та сума її ряду Тейлора дорівнюють поблизу цієї точки.
І хоча для найважливіших з них зараз існують кращі ряди наближення, поліноми Тейлора є основою, а для менш поширених функцій вони можуть бути єдиним доступним наближенням. І поліноми Тейлора також дайте визначення функції, яка може бути корисною для обчислення нескінченних рядів, наприклад.
За визначенням поліном Тейлора P порядку n функції f у точці a, де вона n разів диференційовна, є (або має бути) таким: P — унікальний поліном ступеня не більше n, такий, що P(i)(a)=f(i)(a) для i=0,1,…,n (де P(i) позначає i-ту похідну поліноміальної функції, пов’язаної з P).
(1) Поліном Тейлора ступеня 0 є сталою f(a). Звичайно, це розумне, хоча й тривіальне, наближення до функції f(x), коли x близьке до a. (2) Поліном Тейлора ступеня 1 є лінеаризацією f(a)+f/(a)·(x−a).
Серія Тейлора є поліном або функція нескінченної суми доданків. Кожен наступний член матиме більший показник або вищий ступінь, ніж попередній.