У реальному аналізі теорема Гейне–Бореля, названа на честь Едуарда Гейне та Еміля Бореля, стверджує: для підмножини S евклідового простору Rn наступні два твердження еквівалентні: S є компактним, тобто кожне відкрите покриття S має скінченне підпокриття. S замкнута та обмежена.
Про це говорить теорема Гейне-Бореля замкнуті обмежені інтервали [a, b] є прикладами компактних множин. Концепція відкритої множини – це те, що необхідно для того, щоб визначити конвергенцію та сформулювати ідею безперервності.
Зворотна теорема Гейне Бореля стверджує, що кожна компактна підмножина R є замкнутою та обмеженою.
Про це говорить теорема Бореля (також звана лемою Бореля). кожен степеневий ряд є рядом Тейлора деякої гладкої функції. Іншими словами: для кожного набору заданих часткових похідних у певний момент існує гладка функція, яка має ці фактичні похідні.
Теорема 5.2 Інтервал [0,1] є компактним. половина, яка не покрита кінцевою кількістю членів O. тому діаметри цих інтервалів дорівнюють нулю. [an,bn] ⊂ (p − , p + ) ⊂ O.