Неповні гамма-функції (13.73) γ ( a , x ) = ∫ 0 x e − t t a − 1 d t , ℜ ( a ) > 0 , Γ ( a , x ) = ∫ x ∞ e − t t a − 1 d t .
Неповна гамма-функція добре відома як: Γ(n,x)=∫+∞xtn−1e−tdt. Ця функція для додатних значень свого першого аргументу n>1 має представлення «суми» як: Γ(n,x)=(n−1)!e−xn−1∑k=0xkk! з (.)
тоді як нижня неповна гамма-функція визначається як: γ(ν,x)=∫x0tν−1e−tdt. γ(ν,x)+Γ(ν,x)=Γ(ν). Mathematica використовує позначення: Gamma[ν, 0, x] для нижчої неповної гамма-функції.
Щоб поширити факториал на будь-яке дійсне число x > 0 (незалежно від того, чи є x цілим числом), гамма-функція визначається як Γ(x) = Інтеграл на інтервалі [0, ∞] від ∫ 0∞t x −1 e−t dt. Використовуючи методи інтегрування, можна показати, що Γ(1) = 1.
Незавершена бета-функція Співвідношення між двома функціями схоже на співвідношення між гамма-функцією та її узагальненням неповної гамма-функцією. Для натуральних чисел a і b неповна бета-функція буде поліномом ступеня a + b – 1 з раціональними коефіцієнтами.
g = igamma(nu,z) повертає верхню неповну гамма-функцію. igamma використовує визначення верхньої неповної гамма-функції. Однак стандартна функція MATLAB® gammainc використовує визначення регуляризованої нижньої неповної гамма-функції, де gammainc(z,nu) = 1 – igamma(nu,z)/gamma(nu) .