Важливою характеристикою рівномірного розподілу є те, що він має постійну ймовірність. Тобто всі значення X в діапазоні від a до b є рівноймовірними. Формула кумулятивної ймовірності така: P(X≤x)=⎧⎪⎨⎪⎩0для x<a,x−ab−aдля a≤x≤b,0для x>b.
Теорема: для будь-якої кумулятивної функції розподілу F із зворотною функцією F-1, якщо U має рівномірний (0,1) розподіл, то випадкова величина G = F-1(U) має F як cdf. Доведення (спочатку уявіть, що F строго зростає): P(G x) = P{U F(x)) = F(x).
Позначення для рівномірного розподілу: X ~ U(a, b) де a = найменше значення x і b = найвище значення x.
Кумулятивна функція розподілу (cdf) дає ймовірність того, що випадкова величина X менша або дорівнює x, і зазвичай позначається як F(x). Кумулятивна функція розподілу випадкової величини X є функцією, заданою як F(x)=P[X≤x]. F ( x ) = P [ X ≤ x ] .
Отже, кумулятивна функція розподілу: FX(x)=∫x−∞N(z;μ,σ2)dz=∫x−∞1√2πσ⋅exp[−12(z−μσ)2]dz=1√2πσ∫x−∞exp[− (z−μ√2σ)2]dz.
CDF — це ймовірність того, що значення випадкової змінної менше або дорівнює x, тоді як PDF — це ймовірність того, що випадкова величина, скажімо X, прийме значення, точно дорівнює x.