Кілька змінних є голоморфними тоді і тільки тоді, коли вони голоморфні в кожній змінній окремо. У більш загальному вигляді функція кількох комплексних змінних, яка інтегрується з квадратом по кожній компактній підмножині своєї області визначення, є
тоді і тільки тоді, коли він задовольняє рівняння Коші–Рімана в сенсі розподілів.
Функція f:C→C називається голоморфною у відкритій множині A⊂C, якщо вона диференційовна в кожній точці множини A. Функція f:C→C називається аналітичною, якщо вона має представлення степеневого ряду. Ми можемо довести, що ці два поняття однакові для складних функцій однієї змінної.
Кажемо, що f голоморфна на Ω якщо f комплексно диференційовна в кожній точці Ω. Тоді функція f0 : Ω → C називається комплексною похідною від f або просто похідною. Якщо існує голоморфна функція F, визначена на Ω, така що F0 = f, ми говоримо, що F є первісною f.
Функція f(z) називається аналітичною в області R комплексної площини якщо f(z) має похідну в кожній точці R і якщо f(z) є однозначним. Функція f(z) називається аналітичною в точці z, якщо z є внутрішньою точкою деякої області, де f(z) є аналітичною.
Функція називається голоморфною, якщо вона диференційовна, і аналітичною, якщо вона допускає власний степеневий ряд і дорівнює йому. Над комплексними числами вони еквівалентні. Функція називається цілою, якщо вона аналітична у всій комплексній площині.
Добре відомо, що якщо обидві f(z) і g(z) є голоморфними на (шляхово)зв’язній відкритій множині C і |f(z)|=|g(z)| на C, тоді f(z)=cg(z) на C для деякої константи c.