Визначником будь-якої ортогональної матриці є або +1, або −1. Як лінійне перетворення, ортогональна матриця зберігає скалярний добуток векторів і, отже, діє як ізометрія евклідового простору, наприклад обертання, відображення або обертання.
(5) Визначник ортогональної матриці дорівнює 1 або -1. Причина полягає в тому, що, оскільки det(A) = det(At) для будь-якого A, а визначник добутку є добутком визначників, ми маємо для ортогонального A: 1 = det(In) = det(AtA) = det(A(t)det(A)=(detA)2.
Визначник det(A) = ±1. Таким чином, ортогональна матриця завжди неособлива (оскільки її визначник НЕ 0). Діагональна матриця з елементами 1 або -1 завжди ортогональна. Приклад: ⎡⎢⎣1000−10001⎤⎥⎦ [ 1 0 0 0 − 1 0 0 0 1 ] є ортогональним.
Квадратну матрицю з дійсними числами або значеннями називають ортогональною матрицею якщо його транспонування дорівнює оберненій до нього матриці. Іншими словами, добуток квадратної ортогональної матриці та її транспонування завжди дасть одиничну матрицю.
Пояснення: щоб визначити, чи є матриця ортогональною, нам потрібно помножте матрицю на її транспонування та подивіться, чи отримаємо ми одиничну матрицю. Оскільки ми отримуємо одиничну матрицю, ми знаємо, що це ортогональна матриця.
Усі ортогональні матриці є оборотними. Оскільки транспонування стримує визначник, ми можемо сказати, визначник ортогональної матриці завжди дорівнює -1 або +1.