Це узагальнюється на похідну Лі будь-якого тензорного поля вздовж потоку, створеного X. Дужка Лі є R-білінійну операцію і перетворює множину всіх гладких векторних полів на многовиді M в (нескінченномірну) алгебру Лі.
Дужка брехні двох полів убивства все ще залишається полем убивства. Таким чином, поля Кіллінга на многовиді M утворюють підалгебру Лі векторних полів на M. Це алгебра Лі групи ізометрій многовиду, якщо M повна. Ріманів многовид з транзитивною групою ізометрій є однорідним простором.
Дужка Лі двох векторних полів є іншим векторним полем, яке, грубо кажучи, вимірює некомутативність потоків обох векторних полів. Некомутативність тут Page 9 6 Геометричне нелінійне управління означає залежність результату застосування потоків від порядку застосування цих потоків.
Дужка Лі двох векторних полів X, Y , визначених на многовиді M, є векторним полем Z, визначеним комутаторним правилом Z(f) = X(Y(f)) – Y(X(f)). Стандартне позначення для дужки Лі: Z = [X, Y]. Команда LieBracket також використовується для обчислення дужок в абстрактній алгебрі Лі.
Стандартна дужка Лі для алгебр Лі матричних груп Лі визначається як [A, B] = AB − BA. З попередніх прикладів і наведених вище визначень зрозуміло, що алгебра Лі su(n) спеціальної унітарної групи SU(n) є простором n × n безслідових косоермітових матриць разом із комутаторною дужкою.
Це узагальнюється на похідну Лі будь-якого тензорного поля вздовж потоку, створеного X. Дужка Лі є R-білінійну операцію і перетворює множину всіх гладких векторних полів на многовиді M в (нескінченномірну) алгебру Лі.