Приклади закритої множини Розглянемо множину [ 0 , 1 ] яке також є підмножиною дійсних чисел. Це замкнута множина з внутрішнім (0, 1), зовнішнім (−∞, 0) ∪ (1, ∞) і граничними точками 0 і 1. Зауважте, що об’єднання граничних точок із внутрішнім є замкнутою множиною [ 0 , 1 ] .
Тоді закрита множина включає всі числа, які не входять до відкритої множини. Наприклад, для відкритої множини x < 3 закрита множина є x >= 3. Ця закрита множина включає межу 3. Для відкритої множини 0 < x < 3 закритою множиною є x <= 0 і x >= 3.
Наприклад, натуральні числа замкнуті на додавання, але не на віднімання: 1 − 2 не є натуральним числом, хоча і 1, і 2 такими є. Подібним чином, підмножина називається закритою щодо набору операцій, якщо вона закрита для кожної з операцій окремо.
- Множина є відкритою, якщо кожна точка є внутрішньою.
- Множина є замкнутою, якщо вона містить усі свої граничні точки.
У математиці закритим питанням може бути: «Що таке 3+4?» або «Чи розумієте ви, що таке прямокутник?» Існує особливий випадок закритих питань у тестах і іспитах з математики, коли особа, яка складає іспит, має вибрати відповіді зі списку варіантів.
Що є прикладом замкнутої множини? Найпростішим прикладом замкнутої множини є відрізок дійсної прямої [a,b]. Будь-який замкнутий інтервал дійсних чисел містить свої граничні точки за визначенням і, отже, є замкнутою множиною. Замкнутий інтервал [1,4] містить граничні точки 1 і 4, тому він є замкнутою множиною.