Ортогональне доповнення є підпростір векторів, де всі вектори в ньому ортогональні до всіх векторів у певному підпросторі. Наприклад, якщо вам дано площину в ℝ³, то ортогональним доповненням до цієї площини є пряма, перпендикулярна до площини, яка проходить через (0,0,0).
Ортогональні доповнення Ортогональне доповнення W ⊥ до W у ℝ n є множина всіх векторів x ∈ ℝ n з властивістю x · w = 0 для всіх w ∈ W . Тобто W ⊥ містить вектори ℝ n, ортогональні кожному вектору в W .
Ортогональним доповненням прямої W, що проходить через початок координат в R 2 є перпендикуляр W ⊥ .
V⊥ є підпростір, тож це означає, що будь-який вектор можна записати як суму члена V⊥ та члена (V⊥)⊥, як показано в останньому відео. Це включає v, члена V.
доказ
- Нульовий вектор знаходиться в W ⊥, тому що нульовий вектор ортогональний кожному вектору в R n .
- Нехай u , v знаходяться в W ⊥ , тому u · x = 0 і v · x = 0 для кожного вектора x у W . Ми повинні перевірити, що ( u + v ) · x = 0 для кожного x у W . …
- Нехай u належить до W ⊥ , тому u · x = 0 для кожного x у W , і нехай c є скаляром.