Щоб продемонструвати, що a
f:E→F f: E → F є сюр'єктивним, ми демонструємо, що для всіх y∈F y ∈ F рівняння y=f(x) y = f (x) завжди допускає принаймні один розв’язок x в E .
(i) Існує ін’єктивна функція F: A → B тоді і тільки тоді |A|≤|B|. (ii) Існує сюр'єктивна функція F: A → B тоді і тільки тоді, коли |A|≥|B|.
Щоб показати, що f не є сюр'єктивним, просто знайдіть елемент y з F, який не має антецеденту. Нехай u : R −→ R+ — таке відображення, що u(x) = 0, якщо x < −1, і u(x) = x + 1, якщо x ⩾ −1. Дійсні числа −1 і −2 різні і мають однаковий образ: u(−1) = u(−2) = 0. Отже, u не є ін'єктивним.
На сегменті. Теорема бієкції між відрізками — Якщо f схід a функція неперервний і строго монотонний на інтервалі [a, b] і з дійсними значеннями, то він являє собою біекцію між [a, b] і замкнутим інтервалом, межі якого f(a) і f(b).
Відображення T є сюр'єкцією тоді і тільки якщо діапазон (T) = V . Це буквально випливає з визначення діапазону, тому що єдиний спосіб для діапазону (T) дорівнювати V – це якщо кожен елемент V може з’явитися як результат T: тобто, якщо T є сюр’єктивним. Трохи менш очевидно, що програма T є ін’єкцією тоді і тільки тоді, коли null(T) = 0.
Щоб довести, що функція f: A → B є сюр'єктивною, ми повинні показати, що f(A) = B . Іншими словами, ми повинні показати, що дві множини f(A) і B рівні.Ми вже знаємо, що f(A) ⊆ B, якщо f є точно визначеною функцією.